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   "source": [
    "# 第九章 多元函数微分法及其应用\n",
    "\n",
    "类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。\n",
    "\n",
    "## 定义\n",
    "设函数 $ z = f(x, y) $的定义域为 $ D $，$ P_0(x_0, y_0) $ 为 $ D $ 的内点。若存在 $ P_0 $的某个邻域 $ U(P_0) \\subset D $，使得对于该邻域内异于 $ P_0 $ 的任何点 $ (x, y) $，都有\n",
    "\n",
    "$f(x, y) < f(x_0, y_0)$\n",
    "\n",
    "则称函数 $f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 有极大值 $ f(x_0, y_0) $，点 $ (x_0, y_0) $ 称为函数 $ f(x, y) $ 的极大值点；若对于该邻域内异于 $ P_0 $的任何点 $ (x, y) $，都有\n",
    "\n",
    "$f(x, y) > f(x_0, y_0) $\n",
    "\n",
    "则称函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 有极小值 $ f(x_0, y_0) $，点 $ (x_0, y_0) $ 称为函数 $ f(x, y) $ 的极小值点。极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。\n",
    "\n",
    "## 例子\n",
    "\n",
    "### 例1\n",
    "函数 $ z = 3x^2 + 4y^2 $ 在点 $ (0, 0) $ 处有极小值。因为对于点 $ (0, 0) $ 的任一邻域内异于 $ (0, 0) $ 的点，函数值都为正，而在点 $ (0, 0) $ 处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点 $ (0, 0) $ 是开口朝上的椭圆抛物面 $ z = 3x^2 + 4y^2 $ 的顶点。\n",
    "\n",
    "### 例2\n",
    "函数 $ z = -\\sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $ (0, 0) $ 处有极大值。因为在点 $ (0, 0) $ 处函数值为零，而对于点 $ (0, 0) $ 的任一邻域内异于 $ (0, 0) $ 的点，函数值都为负。点 $ (0, 0) $ 是位于 $ xOy $ 平面下方的锥面 $ z = -\\sqrt{x^2 + y^2} $ 的顶点。\n",
    "\n",
    "### 例3\n",
    "函数 $ z = xy $ 在点 $ (0, 0) $ 处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点 $ (0, 0) $ 处的函数值为零，而在点 $ (0, 0) $ 的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。\n",
    "\n",
    "以上关于二元函数的极值概念，可推广到 $ n $ 元函数。设 $ n $ 元函数 $ u = f(P) $ 的定义域为 $ D $，$ P_0 $ 为 $ D $ 的内点。若存在 $ P_0 $ 的某个邻域 $ U(P_0) \\subset D $，使得该邻域内异于 $ P_0 $ 的任何点 $ P $，都有\n",
    "\n",
    "$ f(P) < f(P_0) \\quad (\\text{或} \\quad f(P) > f(P_0)) $\n",
    "\n",
    "则称函数 $ f(P) $ 在点 $ P_0 $ 有极大值（或极小值）$ f(P_0) $。\n",
    "\n",
    "## 定理\n",
    "\n",
    "### 定理1（必要条件）\n",
    "设函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 具有偏导数，且在点 $ (x_0, y_0) $ 处有极值，则有\n",
    "\n",
    "$ f_x(x_0, y_0) = 0, \\quad f_y(x_0, y_0) = 0. $\n",
    "\n",
    "**证明** 不妨设 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处有极大值。依照极大值的定义，在点 $ (x_0, y_0) $ 的某邻域内异于 $ (x_0, y_0) $ 的点 $ (x, y) $ 都适合不等式\n",
    "\n",
    "$ f(x, y) < f(x_0, y_0). $\n",
    "\n",
    "特殊地，在该邻域内取 $ y = y_0 $ 而 $ x \\neq x_0 $ 的点，也应适合不等式\n",
    "\n",
    "$ f(x, y_0) < f(x_0, y_0). $"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "这表明一元函数 \\$f(x, y_0) $ 在 $ x = x_0 $ 处取得极大值，因而必有\n",
    "\n",
    "$ f_x(x_0, y_0) = 0. $\n",
    "\n",
    "类似可证\n",
    "\n",
    "$ f_y(x_0, y_0) = 0. $\n",
    "\n",
    "从几何上看，这时如果曲面 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 处有切平面，则切平面\n",
    "\n",
    "$ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) $\n",
    "\n",
    "成为平行于 $ xOy $ 坐标面的平面 $ z - z_0 = 0 $。\n",
    "\n",
    "类似地推得，如果三元函数 $ u = f(x, y, z) $ 在点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 具有偏导数，那么它在点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 具有极值的必要条件为\n",
    "\n",
    "$ f_x(x_0, y_0, z_0) = 0, \\quad f_y(x_0, y_0, z_0) = 0, \\quad f_z(x_0, y_0, z_0) = 0. $\n",
    "\n",
    "仿照一元函数，凡是能使 $ f_x(x, y) = 0, f_y(x, y) = 0 $ 同时成立的点 $ (x_0, y_0) $ 称为函数 $ z = f(x, y) $ 的驻点。从定理 1 可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但函数的驻点不一定是极值点，例如，点 (0,0) 是函数 $ z = xy $ 的驻点，但函数在该点并无极值。\n",
    "\n",
    "## 定理 2 (充分条件)\n",
    "设函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $ f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0 $，令\n",
    "\n",
    "$ f_{xx}(x_0, y_0) = A, \\quad f_{xy}(x_0, y_0) = B, \\quad f_{yy}(x_0, y_0) = C, $\n",
    "\n",
    "则 $ f(x, y) $ 在 $ (x_0, y_0) $ 处是否取得极值的条件如下：\n",
    "\n",
    "1. $ AC - B^2 > 0 $ 时具有极值，且当 \\$A < 0 $ 时有极大值，当 $ A > 0 $ 时有极小值；\n",
    "2. $ AC - B^2 < 0 $ 时没有极值；\n",
    "3. $ AC - B^2 = 0 $ 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。\n",
    "\n",
    "这个定理现在不证。利用定理 1、定理 2，我们把具有二阶连续偏导数的函数 $ z = f(x, y) $ 的极值的求法叙述如下：\n",
    "\n",
    "**第一步** 解方程组\n",
    "\n",
    "$ f_x(x, y) = 0, \\quad f_y(x, y) = 0, $\n",
    "\n",
    "求得一切实数解，即可求得一切驻点。\n",
    "\n",
    "**第二步** 对于每一个驻点 $ (x_0, y_0) $，求出二阶偏导数的值 $ A $、$B$ 和 $ C $。\n",
    "\n",
    "**第三步** 定出 $ AC - B^2 $ 的符号，按定理 2 的结论判定 $ f(x_0, y_0) $ 是不是极值、是极大值还是极小值。\n",
    "\n",
    "## 例 4\n",
    "求函数 $ f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x $ 的极值。\n",
    "\n",
    "**解** 先解方程组"
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  }
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   "name": "python"
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 "nbformat_minor": 2
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